עוד רשומה לקראת סדנת הקיטאידו

שוב עבר המון זמן מאז הפעם האחרונה שכתבתי כאן.

בחלקו זה בגלל עומס לימודים, אבל הרוב זה בגלל אהבה חדשה וגדולה בחיי, וכיוון שהיא תל-אביבית ואני ירושלמי, אני מעביר הרבה זמן בנסיעות, מה שלא מוסיף לזמן הפנוי שלי. אבל לא בזה אני רוצה לעסוק. טוב אולי גם, אבל לא רק.

היום, בעצם זה כבר אתמול, היה לי האימון האחרון לפני הטיסה שלי לצרפת, ומבחן-המדריך בקיטאידו. כן, אני כבר קצת מתרגש. הרגשתי מוקף באהבה מחברי לקבוצה, וזו הרגשה נפלאה, אבל יש קוץ או שניים באליה הזו. קודם כל, האהבה המדוברת. יהיו לי שבועיים רחוק ממנה, וכיוון שבמקום-האימון אין חיבור לאינטרנט והקליטה הסלולארית בעייתית, יהיה נתק ממשי. עצוב לי. ועצוב לי גם על העצב שלה. בנוסף, המורה שלי לא טס השנה. וגם זה מצער קצת. אני מאוד מעריך אותו, הן כמורה והן כאדם וחבר, והוא יחסר לי שם. ופתאום, בתוך ההתרגשות והאהבה של הקבוצה צף לו העצב הזה, וחבל.
והחששות מהמבחן, גם הם כבר שם. קשה לי עם התערובת הזאת. מצד אחד ההתרגשות לקראת הטיסה ולקראת מה שאני יודע, בהתבסס על שנים קודמות, שתהיה חוויה חזקה ונפלאה, לקראת הפגישה עם חברים לאימון מחו"ל שלא ראיתי כבר שנה. מצד שני החששות והגעגועים שיהיו. אני לא רגיל לתערובות שכאלה.

טוב, מספיק עם זה. אני אטוס בעוד כמה ימים, ואני איהנה, ואני אבחן, ואני אתגבר על החוסרים, וכשאחזור אשמח שבעתיים לפגישה המחודשת עם אלה שאתגעגע אליהם, וזהו.

בכל מקרה, כפי הנראה לא אכתוב בשלושה-ארבעה שבועות הקרובים. כשאחזור, אכתוב רשמים וחוויות מצרפת, ואז אחזור לפיסיקה שנזנחה כאן לאחרונה. אני רוצה לכתוב על תנועה הרמונית, על החתול של שרדינגר ועל מסלולי-פלנטות. וחוץ מזה יש עוד כמה מתכונים בדרך. אננס ממולא, למשל.

היו שלום.

מודעות פרסומת
פורסם בקטגוריה אומנויות-לחימה, קיטאידו, רגש | תגובה אחת

סממני התום

הרבה זמן לא יצא לי לכתוב כאן.
אם הקוראים הסליחה, פשוט זמני מעט קצר בימים אלה. אז החלטתי בינתיים להוסיף עוד תרגום.
שוב בלייק. המשורר הזה מצליח לשבות אותי בכל פעם מחדש. אפילו בארבע השורות הקצרות שלפנינו.
האלגנטיות, האימג'ים שעולים לעינינו. אני חושב שבשיר זה אפשר להרגיש שבלייק צייר בנוסף לכתיבה. אני מקווה שתיהנו מהשיר לפחות כמוני, ואולי גם מהתרגום.
כרגיל, הערות תתקבלנה בברכה.

Auguries of Innocence by William Blake.

סממני התום/וויליאם בלייק

To see the world in a grain of sand,

And a heaven in a wild flower;

Hold infinity in the palm of your hand,

And eternity in an hour.

לראות עולם בגרגר חול אחד,

ושמיים בפרח הבר;

לחפון את האינסוף בכף היד,

ואת הנצח ברגע קצר.

פורסם בקטגוריה שירה, תרגום | 2 תגובות

וריאציות על נושא – המכניקה של לגראנז'.

שקלתי כמה שמות עבור רשומה שעוסקת בז'וזף לואי לגראנז', אבל כיוון שתרומתו הגדולה לפיסיקה הייתה הפיתוח והשימוש בחשבון הוריאציות – זו הכותרת שנבחרה.
בניגוד לאישים חשובים שעוד אכתוב עליהם ועל עבודתם בעתיד, לגראנז' לא שינה את כללי היסוד של המכניקה (כמו שקרה בעת פיתוח המכניקה הקוונטית והיחסותית), ולא פתח תחום פיסיקלי חדש (התורה האלקטרומגנטית, למשל). מה שהוא עשה הוא לתת לנו כלים מתמטיים חדשים לתאר בהם את הפיסיקה, כלים בהם משתמשים עד היום (וזאת מבלי להיכנס לתרומותיו המתמטיות הנכבדות, שבשלן כינה אותו נפוליון "הפירמידה הנשגבת של המתמטיקה"). ברשומה זו אנסה להסביר את הכלים הללו.
נתחיל ברעיון הכללי. אחד מהדברים העיקריים שמעניינים אותנו במכניקה הקלאסית הוא מסלולו של גוף. כמו שראינו בפוסט הזה, ניוטון הראה כי כדי לעשות זאת עלינו למצוא את סך-הכוחות הפועלים על הגוף, לכתוב את המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את שינוי-התנע ולפתור אותה. בד"כ זה מאוד קשה. אז בא לגראנז' והראה שיש דרך פשוטה יותר. במובן מסוים טבעית יותר. לגראנז' הראה כי ניתן לייחס גודל, שנקרא פעולה, לכל מסלול אפשרי של גוף. בנוסף הוא הראה שהמסלול האמיתי בו ינוע הגוף, הוא זה שעבורו הפעולה היא הקטנה ביותר. הדרישה של מזעור הפעולה נותנת לנו משוואות, בד"כ יותר פשוטות ממה שהיינו מקבלים מחוקי-ניוטון, שפתרונן נותן את המסלול. משוואות אלה נקראות משוואות-התנועה או משוואות אוילר-לגראנז'. הייחוד של השיטה של לגראנז', הנקראת לעיתים מכניקה-אנליטית (כשם הספר שכתב המתאר אותה), או מכניקה-לגראנז'יאנית, הוא בכך שבניית הפעולה מתייחסת לסימטריות השונות של הבעיה, וכן מתארות את מיקום הגוף בקואורדינאטות המתאימות לאופי התנועה, ולאו-דווקא הקואורדינאטות הסטנדרטיות – אורך רוחב וגובה (x,y,z).
כעת, לאחר ההקדמה ותיאור-השיטה, אנסה להסביר את הצד הטכני. נתחיל בקואורדינאטות בהן באמצעותן מתאר לגראנז' את מיקום הגוף. בד"כ, כאשר אנו מתארים את מיקומו של גוף במרחב, אנו צריכים להגיד, בכל זמן נתון, מהן קואורדינאטות ה-x, ה-y, וה-z של הגוף. מצד שני, פעמים רבות יש לנו אילוצים, או איזושהי תלות בין הקואורדינאטות. את אלה אפשר לקחת בחשבון, והם יכולים לסייע לנו להפחית את מספר הקואורדינאטות הדרוש. אם, למשל, אנחנו עוסקים במטוטלת, התנועה היא במישור, רק 2 קואורדינאטות. נגיד x ו-y. אבל בכך לא מסתיים הסיפור. המשקולת של המטוטלת נעה על קשת של מעגל, ולמעשה הזווית של החוט של המטוטלת ביחס לאיזשהו ישר, נאמר ציר ה-y, קובעת לחלוטין את מיקום המטוטלת. במצב כזה אנו אומרים שיש למערכת "דרגת חופש אחת", ואנו צריכים לתת רק גודל אחד, במקרה זה הזווית, כדי לתאר את מיקום הגוף. הגודל הזה הוא הקואורדינאטה (או קואורדינאטות, אם יש יותר מאחד) בהן נשתמש. הן נקראות "קואורדינאטות מוכללות", ומסומנות בד"כ ב-q_i. כבר כאן אנחנו יכולים לראות את היתרון של השיטה של לגראנז' על פני זאת של ניוטון. אם היינו רוצים לתאר תנועת מטוטלת אצל ניוטון, היינו צריכים להתחשב הן בכוח-הגרוויטציה הפועל על המטוטלת, והן בכוח של החוט המושך אותה. הכוח של החוט משתנה כל הזמן, ולא פשוט לטפל בו. אחרי שהיינו מצליחים להתמודד עם זה, היינו זקוקים לשתי משוואות – אחת לציר x והשנייה לציר y, ואז לפתור. אצל לגראנז', לעומת זאת, החוט לא מקשה עלינו, הוא עוזר לנו, הוא הופך מכוח שיש להתחשב בו לאילוץ המבטל דרגת-חופש אחת. כל שנשאר כעת הוא להשתמש בקואורדינאטה המוחלט הבודדת שיש לנו כדי לכתוב, ולפתור, משוואה אחת (משוואת אוילר-לגראנז' עבורה).
אחרי שאנחנו מבינים את הקואורדינאטות המוכללות, יש גודל חדש נוסף. לכל קואורדינאטה מוכללת יש מהירות מתאימה, שהיא פשוט הנגזרת של הקואורדינאטה לפי הזמן. הסימון הוא, בד"כ \overset{.}{q_i}, כאשר מתקיים \overset{.}{q_i}=\frac{\partial {q_i}}{\partial {t}}. ה-d המסולסלת, \partial, נקרא נגזרת חלקית.
הצעד הבא לקראת כתיבת משוואות אוילר-לגראנז' הוא כתיבה של הכוחות הידועים הפועלים על הגוף, אלה שאינם אילוצים, במונחים של הקואורדינאטות המוכללות והמהירויות. כן, אני יודע שזה נשמע מורכב כרגע, אבל מייד בסיום ההסבר תבואנה זוג דוגמאות, שאני מקווה שתעזורנה להפנים.
כעת עלינו להגדיר את הפעולה. בעצם לא את הפעולה עצמה. הגודל שנגדיר נקרא לגרנז'יאן, ומסומן ב-L. הפעולה היא אינטגרל של הלגראנז'יאן. ולמה שווה לגרנז'יאן זה? ובכן צורתו הפונקציונאלית היא
\frac{1}{2}m \left( \overset{.}{r_1}^2 + \overset{.}{r_2}^2 +...+ \overset{.}{r_m}^2 \right) + \int{F}
כאשר ה-r-ים הן הקוארדינטות הרגילות, מובעות כפונקציות של הקואורדינאטות המוכללות, F הוא סך כל הכוחות הידועים, כלומר אלה שאינם אילוצים, ו-m היא מסת הגוף. אם נסמן, כמקובל \int{F}=-U ונשתמש בסימון מקוצר לסכימה נקבל את הנוסחה בכתיב מקוצר ונוח יותר:
L=\frac{1}{2}m \sum\limits_{i=1}^{m}{\overset{.}{r_i}^2}-U
חדי-עין ויודעי-ח"ן ישימו לב, בוודאי, שהסימונים מזכירים אנרגיה, ואכן הלגרנז'יאן הוא ההפרש בין האנרגיה הקינטית לפוטנציאלית של הגוף. אחרי שהגדרנו את הלגרנז'יאן, נותר רק לכתוב את משוואות אוילר-לגראנז' שהן:

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \overset{.}{q_i}} \right)=\frac{\partial L}{\partial {q_i}}

נשים לב כי יש לנו משוואה עבור כל קואורדינאטה מוכללת.
אלו הם עיקרי התורה של לגראנז', כאשר את ההוכחות לגבי מדוע היא נכונה לא אביא, שכן הן טכניות מאוד.
בואו נפנה, במקום זה, לזוג דוגמאות.
המערכת הראשונה – גוף המחובר לקפיץ שנמצא על משטח אופקי חסר-חיכוך. מותחים (או מכווצים) את הקפיץ ומשחררים, ונותנים לגוף להתנודד הלוך חזור. התנועה שעושה הגוף נקראת תנועה הרמונית פשוטה. ננתח אותה. הבעיה היא חד-ממדית, ללא אילוצים, כאשר הכוח היחיד שפועל הוא זה של הקפיץ. כוח של קפיץ שווה ל--kx , כאשר k הוא קבוע המאפיין את הקפיץ, ו-x הוא המרחק של הגוף מהנקודה בה הקפיץ רפוי לחלוטין (לא מתוח ולא מכווץ). במצב זה הקואורדינאטה המוכללת המתאימה לתיאור הבעיה היא x, ומתקיים -U=-kx^2. הלגראנז'יאן בבעיה הוא L=\frac{1}{2}m \overset{.}{x}^2-kx^2, ומשוואת אוילר-לגראנז' המתאימה (רק קואורדינאטה אחת, אז רק משוואה אחת) היא \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}m \frac{\partial L}{\partial \overset{.}{x}} \right)=\frac{\partial L}{\partial x}. אם נוציא לפועל את כל הנגזרות נקבל את המשוואה m \overset{..}{x}=-kx. את המשוואה הזו קל לפתור, ופתרונה הוא x\left( t \right) = A \cos \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t+\phi \right), כאשר A ו-\phi נקבעים עפ"י תנאי ההתחלה של הבעיה.
הבעיה הזו היא מאוד פשוטה, והיינו יכולים לפתור אותה בקלות גם ללא עזרת לגראנז'. בעיה אחרת, מורכבת יותר, היא הבעיה של מטוטלת – משקולת קטנה התלויה על חוט ומתנודדת הלוך וחזור. הבעיה הזו היא דו-ממדית (אנחנו צריכים לתת שתי קואורדינאטות, x ו-y כדי לתאר את מיקום הגוף), אבל יש לנו אילוץ אחד – הגוף חייב לנוע לאורך קשת-מעגל שרדיוסו כאורך החוט של המטוטלת, שיסומן ב-l. כלומר אנו זקוקים, שוב, לקוארדינטה מוכללת אחת. אם נסמן את הזווית בין החוט לכיוון השלילי של ציר y ב-\theta (ראו ציור), נקבל ש-x=l\sin\left(\theta\right), ו-y=-l\cos\left(\theta\right). \theta היא, אם-כן, הקואורדינאטה המוכללת שלנו, והכוח היחיד שפועל הוא הגרוויטציה – F=-mg.

מכוח זה נקבל אנרגיה פוטנציאלית U=mgy=-mgl\cos\left(\theta\right). הלגראנז'יאן שיתקבל הוא L=\frac{1}{2}m \left(l^2\overset{.}{\theta}^2\sin^2\left(\theta\right) + l^2\overset{.}{\theta}^2\cos^2\left(\theta\right) \right)+ mgl\cos\left(\theta\right)=\frac{1}{2}ml^2\overset{.}{\theta}^2+ mgl\cos\left(\theta\right). משוואת אוילר-לגראנז' עבור \theta תיתן (אני אדלג על הפיתוח ואתן את התוצאה הסופית) \overset{..}{\theta}=-\frac{g}{l}\sin\left(\theta\right). למשוואה זו אין פתרון, אולם אם \theta היא זווית קטנה, ניתן לעשות קירוב \sin\left(\theta\right)=\theta, ולקבל את המשוואה \overset{..}{\theta}=-\frac{g}{l}\theta. למשוואה זו צורה זהה למשוואה שקיבלנו עבור הקפיץ בבעיה הקודמת, לכן גם הפתרון יהיה זהה.
גם את הבעיה הזו היינו יכולים לפתור ללא לגראנז', אך זה היה מסובך יותר.
לסיום הרשימה אוסיף שהשימוש בפורמליזם של לגראנז' עדיין נפוץ מאוד ברבים מענפי הפיסיקה, וייתרה על כן, אם נתבונן בסיטואציה בה עיין כוחות, רק אילוצים, משוואות אוילר-לגראנז' מתארות את המסלול הקצר ביותר בין נקודת ההתחלה והסיום תחת האילוצים, כלומר הפורמליזם הוא בעל שימוש גם לגיאומטריה, ומהווה למעשה חיבור בין הפיסיקה לגיאומטריה.

פורסם בקטגוריה חוקי-בסיס בפיסיקה, מכניקה אנליטית, מכניקה לגראנז'יאנית, מכניקה קלאסית, פיסיקה | כתיבת תגובה

לקראת סדנת-קיטאידו בצרפת

היום הוא ה-31/5/2010. זה אומר שבדיוק בעוד חודשיים, ב-31/7, נפתחת סדנת הקיטאידו השנתית בצרפת.

אני לא אכתוב על הקיטאידו בפוסט הזה. אולי בעתיד. המעוניינים יכולים לקרוא בבלוג של אביב טטרסקי, המורה שלי.

זו תהייה עבורי השנה השלישית ברציפות בסדנה. שבועיים של אימונים מפרכים וחברותה עם אחי ואחיותיי לאימון, מישראל ומחו"ל.
השנה אני מתרגש במיוחד כי, אם לא תקרנה תקלות, השנה אני אעשה מבחן-מדריך בסוף השבוע הראשון של הסדנה.
מצד אחד, אני מרגיש די מוכן לבחינה. מצד שני, אני לא רוצה לפתח שאננות או יוהרה, ויש את החששות. רגע אחד של חרדת-בחינות, יום רע, קצת לחץ, וכל ההכנה יכולה להעלם.
אני יכול רק להמשיך לעבוד ולהתכונן, ולעשות כמיטב יכולתי. אה, ולהיעזר בתמיכתם של חברי לאימון ושל מוריי.
זהו.
אני מבטיח לרשום חוויות ולספר איך היה אחרי שאחזור.

פורסם בקטגוריה אומנויות-לחימה, פיסיקה, קיטאידו | 4 תגובות

האפור היום אפור מאוד – הייה שלום מרטין.

ביום אביב בהיר ונאה זה קראתי בעיתון הארץ כי מרטין גרדנר נפטר, והעולם נעשה מעט יותר אפור.

נכון, אומרים כי בתי-הקברות מלאים האנשים שלא היה להם תחליף, ועדיין העולם מתמעט כשהם הולכים. גרדנר היה כזה. ב-95 שנותיו הוא תרם לפופולריזציה של המתמטיקה כנראה יותר מכל אדם אחר. הוא חיבר את הטור "משחקים מתמטיים" במגזין סיינטיפיק-אמריקן במשך 25 שנים, וחיבר ספרי חידות רבים. הוא כתב ביאורים לספריו של לואיס-קרול והראה, בין השאר, את המתמטיקה החבויה בהם (לואיס קרול, או צ'ארלס לודוויג דודג'סון בשמו האמיתי, היה מתמטיקאי בהכשרתו).
אכן, הוא יחסר.הייתי מוסיף "יהי זכרו ברוך", אך אין צורך. זכרו ברוך, ויישאר בלבבותיהם של מתמטיקאים וחובבי-מתמטיקה רבים.

פורסם בקטגוריה רגש | כתיבת תגובה

לחם-בייקון

להכין לחם-בירה למדתי מ-ר. בשנה א' של התואר הראשון. ההתלהבות שלי הייתה מיידית. לחם-בירה זה דבר פשוט נפלא. אם יש בבית בירה, קמח-תופח וכמה דברים טובים להעשיר בהם את התערובת, בערך שעה-וחצי מרגע תחילת העבודה אפשר ליהנות מחם טרי וחם, וכולנו יודעים שאין מה שישווה לזה.

את לחם-הבייקון, לעומת זאת, פגשתי במאפייה בצרפת. אהבה מביס ראשון. השידוך היה פשוט מתבקש.

כיוון שבייקון מפולפל ומומלח, במתכון הזה אין תוספת של פלפל ומלח. במתכונים אחרים ללחם-בירה בהחלט יש תיבול. יש לי עוד כמה ווריאציות מוצלחות, ובוודאי אכתוב אותן כאן, אבל עכשיו לבייקון.

 

רכיבים

  • 350 גר' קמח-תופח
  • 330 מ"ל בירה (לא חשוב איזו. אני בד"כ משתמש בגולדסטאר)
  • 220 גר' בייקון לא פרוס
  • חצי כף סוכר

 

אופן ההכנה

  • מחממים תנור ל-180 מעלות.
  • מסירים את הקרום מהבייקון, ושומרים בצד.
  • קוצצים את הבייקון לקוביות קטנות (משהו כמו סנטימטר).
    30042010027.jpg
  • מחממים מחבת ומניחים עליה את קרום הבייקון, עם השומן כלפי מטה. מניעים את הקרום על-פני המחבת, שתהיה משומנת.
  • כאשר המחבת משומנת, מוסיפים את קוביות הבייקון, ומטגנים כמה דקות. המטרה היא שיצא הרבה מאוד שמן. מוציאים את הקרום.
    30042010028.jpg
  • שופכים את הקמח לקערה. מוסיפים את הסוכר, את קוביות הבייקון עם השומן הנוזלי ואת הבירה.
  • לשים במשך כ-5 דקות. אפשר בעזרת מערבל עם להב-גיטרה.
  • מעבירים את הבלילה לתבנית אינגליש-קייק מרופדת בנייר אפייה.
  • אופים כ-75 דקות. הלחם מוכן כשקיסם שננעץ בו יוצא יבש.
  • מוצאים מהתנור, מניחים את הלחם על רשת, מקלפים את נייר-האפייה, ומצננים על הרשת כ-10 דקות.
    30042010029.jpg

 

להגיש עם חמאה, גבינת-צ'דר או סירופ-מייפל.

בתיאבון.
30042010030.jpg

פורסם בקטגוריה בישול, לחם, מתכונים | 4 תגובות

לנוע סחור-סחור – על תנועה במעגל ותנועת-לווינים

כתבתי, בפוסט קודם, על הקשר שבין תנועת-גוף לכוח הפועל עליו. כעת הגיע הזמן ליישם.

בד"כ, בלימודי פיסיקה לפחות, הדרך בה משתמשים בחוקי-ניוטון היא מציאת הכוחות הפועלים על גוף ומהם, באמצעות החוק השני, מציאת המסלול שיעשה הגוף.
בעולם האמיתי פעמים רבות המצב הפוך. אנו יודעים מניין באנו והיכן מחוז חפצינו, ואנו צריכים למצוא את הכוח הנדרש כדי לעשות את המסלול אל היעד המבוקש. דוגמאות לכך הן חישובים המעורבים בשיגור טיל, או בחישוב רדיוס-המסלול של לווין, דוגמה שנפתור בהמשך פוסט זה.

ניתוח תנועה-מעגלית מתאים למקרה השני. כיוון שמסלול מעגלי הוא יחסית פשוט, הניתוח מהווה תרגיל ראשוני טוב לשימוש בחוקי התנועה של ניוטון. כאשר נדבר על לוויינים, נוכל גם לפתור את הבעיה שהשארנו פתוחה כאן לגבי הצורה המתמטית המדויקת של כוח הכבידה הפועל בין 2 מסות.

בואו נתחיל. הדבר הראשון שאלינו לעשות הוא לכתוב את צורת המסלול, או ליתר דיוק פונקצית המקום, של גוף הנע במעגל. מעגל נמצא במישור, ולכן נקודה על המעגל תצוין ע"י 2 קואורדינטות, אולם כיוון שמעגל הוא חד-מימדי מספיק לנו משתנה אחד – למשל הזווית בין הקו המחבר את הנקודה אותה נרצה לציין למרכז המעגל לבין צירה-x. נסמן זווית זו ב-\theta. לשם פשטות נניח כי מרכז המעגל הוא בראשית הצירים. את רדיוס המעגל נסמן ב-R. בתנאים אלה נקבל כי מקום הגוף כפונקציה של הזמן נתון ע"י \vec{r \left(t \right)}=R\left(\cos \left( \theta \left( t \right) \right),\sin \left( \theta \left( t \right) \right) \right). הזווית \theta משתנה עם הזמן.
עכשיו, כשיש לנו את פונקצית המקום, אנחנו יכולים להשתמש במה שאנחנו יודעים לגבי הקשר בין מקום, מהירות ותאוצה, ולקבל את פונקצית המהירות ופונקצית התאוצה. נתחיל עם המהירות. אין לי שום כוונה להיכנס לכללי-גזירה כאן. זה לא בלוג מתמטי. התוצאה היא \vec{v \left(t \right)}=\frac{d\theta \left( t \right)} {dt} R\left(-\sin \left( \theta \left( t \right) \right),\cos \left( \theta \left( t \right) \right) \right). בשלב זה נעשה הנחת-פישוט: נניח כי \frac{d\theta \left( t \right)} {dt} הוא גודל קבוע. נסמן גודל זה באות היוונית אומגה (\omega). גודל זה נקרא המהירות הזוויתית של הגוף. הנחה זו משנה מעט את הצורה הפונקציונאלית של פונקציות המקום והמהירות, כיוון שמתקבל ממנה ש-\theta \left( t \right)=\omega t. נכתוב פונקציות אלה מחדש: \vec{r \left(t \right)}=\omega R\left(\cos \left( \omega t \right),\sin \left( \omega t \right) \right)
ו- \vec{v \left(t \right)}=\omega R\left(-\sin \left( \omega t \right),\cos \left( \omega t \right) \right).
נוסיף לסיפור כעת גם את התאוצה:
\vec{a \left(t \right)}=\omega^2 R\left(-\cos \left( \omega t \right),-\sin \left( \omega t \right) \right)=-\omega^2 \vec{r \left( t \right )}.
שווה להתעכב מעט על היחס בין 3 הפונקציות שקיבלנו. נשים לב כי שלושתן פונקציות ווקטוריות. מי שמכירה טיפה אלגברה ליניארית תשים לב לכך שהחלק שמחוץ לסוגריים נותן את גודל הווקטור, ואילו הקואורדינאטות בתוך הסוגריים נותנות את הכיוון. עוד קצת תשומת-לב תגלה לנו שהזווית בין ווקטור המהירות לווקטור המקום היא תמיד, גם ללא הנחת הפישוט שלנו, היא תמיד ישרה, כלומר גוף נע במעגל אם, ורק-אם, בכל רגע ווקטורי המהירות והמקום שלו ניצבים.
דבר נוסף שאפשר לראות הוא שבעוד שווקטור המקום מצביע ממרכז המעגל אל הנקודה בא נמצא הגוף, הרי שווקטור התאוצה מצביע בכיוון ההפוך – ממקום הגוף אל מרכז המעגל. זה, אגב, נכון רק תחת הנחת הפישוט שלנו, שהמהירות הזוויתית קבועה.
אם כבר נגענו במהירות הזוויתית, בואו נגיד גם עליה משהו. זה יהיה חשוב בהמשך. המהירות הזוויתית, קצב השינוי של הזווית \theta \left( t \right), קשורה לגודל יסודי אחר של התנועה – זמן-המחזור, פרק הזמן שלוקח לגוף לעשות סיבוב אחר. כזכור קפלר הבחין בקשר בין זמן-המחזור לבין הרדיוס בתנועה פלנטארית, ואנו עוד נזדקק לכך בהמשך. איך שני הגדלים האלה קשורים? נזכור כי כדי להקיף מעגל עלינו לעבור זווית של 2\pi רדיאנים. כלומר, כדי לעשות מחזור אחד הזווית \theta צריכה להשתנות בדיוק ב-2\pi. כמה זמן זה לוקח? ובכן, בזמן t הזווית משתנה ב-\omega t. חשבון פשוט ייתן לנו שהזמן שייקח לזווית להשתנות ב-2\pi הוא \frac{2\pi} {\omega}. אם נסמן את זמן-המחזור ב-T, נקבל: T=\frac{2\pi} {\omega}. כאמור, זה יהיה חשוב בהמשך, אבל אנחנו היינו בדרך לדבר על הכוח, אז בואו נחזור לשם. לצורך זה נעשה הנחת-פישוט נוספת. נניח כי מסת הגוף המסתובב קבועה. במקרה כזה החוק השני מקבל את הצורה \vec{F}=m\vec{a}. גודל הכוח יהיה, אם כן, m\omega ^2 R וכיוונו ככיוון התאוצה – אל מרכז המעגל. האם זה מפתיע אתכם? במובן מסוים זה אמור. כל מי שישב ברכב בזמן פנייה יודע שפועל עליו כוח החוצה ממרכז המעגל. אני עוד אכתוב על התופעה הזו, הנקראת כוח מדומה, בפוסט עתידי.

בואו נעצור רגע ונראה לאן הגענו. ניתחנו מסלול-תנועה. קיבלנו את פונקציות התנועה השונות (מהירות, תאוצה) הרלוונטיות למסלול. למדנו להכיר תכונות מאפיינות של התנועה (ניצבות המקום והמהירות, זמן-המחזור). השמשנו בחוק השני של ניוטון כדי למצוא את הכוח הנדרש כדי לייצר תנועה במסלול הנבחר. גילינו שיש לנו עוד תופעה מעניינת ששווה לחשוב עליה (הפער בין הכוח שפועל לכיוון מרכז המעגל לבין התחושה שלנו שהכוח פועל החוצה ממרכז המעגל). בסה"כ, יום עבודה לא רע. אבל יש עוד. עכשיו, נשתמש במה שאנחנו יודעים לגבי הכוח וזמן-המחזור כדי להסביר את הגורם של \frac {1} {R^2} שבחוק הכבידה האוניברסאלי של ניוטון. בפוסט שעסק בכך ראינו שכוח המשיכה הפועל בין 2 מסות פרופורציוני למכפלת המסות, וחייב להיות תלוי במרחק שביניהן. נסמן זאת כך: F=G_N m_1 m_2 f\left( R \right). מצד שני אנו יודעים כי זמן המחזור הוא T=\frac{2\pi}{\omega}. אם נביע את המהירות הזוויתית באמצעות הכוח נקבל (חישוב פשוט בהסתמך על נוסחת גודל הכוח בתנועה מעגלית) ש-\omega=\sqrt{\frac{F}{mR}}. נציב בנוסחת זמן-המחזור ונקבל T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{F}{mR}}}. נתבונן עכשיו במערכת ספציפית – לווין שנע סביב כדה"א במסלול מעגלי. נסמן ב-m_1 את מסת כדה"א, וב-m_2 את מסת הלוויין. R יהיה רדיוס ההקפה ו-T זמן-המחזור. נציב את כל הנתונים ונקבל: T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{F}{m_1 R}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{ G_N m_1 m_2 f\left( R \right)}{m_1R}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{G_N m_2 f\left( R \right)}{R}}}.
ומה עכשיו? עכשיו קפלר. קפלר הראה כי ריבוע זמן המחזור פרופורציוני לחזקה השלישית של הרדיוס. ראה למה שווה ריבוע זמן המחזור: T^2=\frac{4\pi^2} {\frac {G_N m_2 f\left(R\right)}{R}}=\frac{4\pi^2R}{G_N m_2 f\left(R\right)}. מכאן קל לראות שכדאי לקיים את חוק קפלר צריך להתקיים ש-f\left(R\right) פרופורציוני ל-R^2. כיוון שאפשר "להחביא" את מקדם הפרופורציה בתוך G_N, נוכל לכתוב f\left(R\right)=R^2, או במילים אחרות שהכוח הגרוויטציוני בין 2 מסות הוא F=G_N\frac {m_1 m_2} {R^2}, ובכך השלמנו את החוב והצדקנו את חוק הכבידה האוניברסאלי של ניוטון.

חשבתי להוסיף עוד משהו על מסלולים של לוויינים, אבל אני חושב שהפוסט כבר קצת ארוך, אז אולי בפעם אחרת.

פורסם בקטגוריה מכניקה קלאסית, מערכות מכניות, פיסיקה | 4 תגובות