המכניקה של ניוטון

ניתן להתווכח על השאלה מאיפה צריך להתחיל כשמתארים את הפיסיקה של ימינו. האם מאפלטון ואריסטו? קופרניקוס קפלר? גליליי? כולם ראויים. כולם תרמו, בין אם היו הראשונים שניסחו חוקי-מכניקה כלליים, שגויים ככל שהיו (היוונים), בין עם בתצפיות ואבחנות אסטרונומיות (קופרניקוס וקפלר) ובין אם בגילוי תופעות וחוקים של תנועת-גופים כאן על אמא-אדמה הטובה.

אבל, אני אבחר להתחיל מניוטון. סליחה, סיר אייזיק ניוטון. אולי המוח המדעי הגדול ביותר שקם לאנושות. האדם הזה אחראי על תגליות בתחומי המכניקה והאופטיקה (שהיו תחומי הפיסיקה היחידים בתקופתו), פיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (היו שותפים אחרים לפיתוח – דקארט, פרמה ולייבניץ, למשל), האלגברה ועוד. וזה בלי להתייחס לקדנציה שלו כאחראי המטבעה של בריטניה.
ניוטון היה הראשון שהבין שהחוקים המושלים בתנועת גרמי-השמיים והגופים על הארץ הם אותם חוקים. הוא ניסח חוקי בסיס, מהם ניתן לקבל את כל החוקים הספציפיים שראו קודמיו (תנועת פלנטות או מטוטלות, למשל). הוא העמיד את חוקיו על בסיס מתמטי מוצק, שאת חלקו הוא פיתח.
את החוקים של ניוטון ניתן לחלק לשתי קבוצות. קבוצה אחת מספרת לנו איך למצוא את הכוחות הפועלים על גוף (לא רשימה מלאה. יש הרבה דרכים להפעיל כוח אליהן ניוטון לא מתייחס). קבוצה זו כוללת את חוק התנועה השלישי של ניוטון ואת חוק הכבידה האוניברסאלי של ניוטון (שיש הקוראים לו חוק התנועה הרביעי). הקבוצה השנייה מספרת לנו מה קורה לגוף כתוצאה מכך שפועל עליו כוח. קבוצה זו כוללת את חוקי התנועה הראשון והשני של ניוטון.
בפוסט הזה אני מתכוון להציג את שלושת החוקים הראשונים של ניוטון, המהווים את "כללי-המשחק" של המכניקה הקלאסית. כמובן שיהיה צורך להסביר בדרך כמה מושגים פיסיקליים ומתמטיים, אבל אנחנו לא מפחדים מזה, נכון?
אז נתחיל עם מושג התנע. עבור אובייקט בעל מסה, התנע שלו שווה למכפלת מסתו במהירותו. אם נסמן את מסת הגוף ב-eq0001l.gif, את מהירותו ב-eq0002m.gif ואת התנע שלו ב-

eq0003m.gif, נקבל ש-eq0004m.gif. אין הגדרה פשוטה למשמעות של הגודל הזה *. כאשר תלמידים שלי שואלים אותי, אני עונה שהתנע הוא "מדד לכמות התנועה של האובייקט". זו לא הגדרה מדויקת, אבל היא נותנת אינטואיציה כלשהי. אנחנו נישאר עם ההגדרה האופרטיבית – eq0004m.gif. גם היא לא מלאה, שכן ניתן לייחס תנע גם לאובייקטים חסרי מסה (למשל אור), אבל המכניקה הקלאסית לא עוסקת בהם.
אז בשביל מה טוב התנע? בשביל חוק התנועה הראשון של ניוטון:
I) התנע של גוף שלא פועל עליו כוח (כלומר שלא עושים לו כלום) לא משתנה. במילים אחרות מצבו הטבעי של גוף הוא לשמור על התנע שלו. אם רוצים לשנות את התנע, צריך לעשות משהו לגוף.
מה שמעניין לגבי חוק זה הוא חוסר האינטואיטיביות שלו. למעשה מאז אריסטו ועד ניוטון המחשבה הייתה שונה לגמרי. אפלטון שם לב שבעולמינו, אם לא עושים כלום לגוף הוא לא יזוז (מהירות אפס, ומכאן תנע אפס). אם נעשה משהו לגוף "נעניק לו תנועה" במונחים של אריסטו, הוא "ינצל" אותה לזמן-מה עד שהוא "תגמר" ואז יחזור למצבו הטבעי – מנוחה. זה בהחלט תואם את מה שאנחנו רגילים לו בעולם. רק נסו בבית לדחוף משהו על הרצפה. הוא יזוז לזמן-מה ואז יעצור. נראה מאוד סביר.
ניוטון הבין שלמעשה מה שעוצר את הגוף המחליק על הרצפה הוא כוח, במקרה זה החיכוך עם הרצפה, ושאילו לא היה פועל הכוח, הגוף היה ממשיך לנוע עם אותו התנע.
אני מוצא את זה כאחת מהדוגמאות ליכולת ההתבוננות הגבוהה של איש מדהים זה.
אבל זה עוד כלום לעומת החוק השני. החוק השני מתאר איך כוח הפועל על גוף קשור לשינוי התנע בזמן. טוב אז צריך להגדיר שינוי וכוח. שינוי זה קל. הצורה המתמטית בה מגדירים שינוי נקראת נגזרת. אם אנחנו מתייחסים לתנע כפונקציה של הזמן, אז השינוי שלו בזמן יהיה פשוט הנגזרת של הפונקציה.
כוח זה כבר עסק מסובך יותר. למעשה, ההגדרה הטובה ביותר של כוח היא "כל מה שגורם לשינוי בתנע של גוף". זה לא באמת מספק, אבל זה מה שיש. נזכור שגם עבור כוחות יש הגדרות אופרטיביות. אנחנו יודעים איך לחשב כוח שמפעיל קפיץ על גוף, כוחות חשמליים, גרוויטציה ועוד.
חמושים בידע הזה, אנחנו יכולים לנסח את חוק התנועה השני של ניוטון:
II) הכוח הפועל על גוף שווה לשינוי בתנע של הגוף.
אם נסמן את הכוח ב-eq0006m.gif, אז ניסוח החוק השני באופן מתמטי יראה כך: eq0007m.gif. אם נשתמש בהגדרת התנע ומהחוקים המתמטיים של פעולת הנגזרת נקבל: eq0008m.png.
פשוט מדהים. בתחילת המחצית השנייה של המאה ה-17, נוסח החוק שמסביר איך גופים נעים תחת השפעת כוחות, ע"י אדם בן 24. חוק שבסדרי-גודל של אטום ומעלה עדיין תקף. חוק שייחד עם חוק הכבידה האוניברסאלי (עליו בפוסט עתידי) מסביר ומאחד הן את חוקי קפלר – תנועת גרמים שמימיים, והן את התצפיות של גליליי – תנועת מטוטלות ונפילת גופים. חוק שבאמצעותו הונחתה חללית על המאדים. חוק שמסביר לנו את אופן הפעולה של מנוע-רקטי, שיומצא למעלה ממאתיים שנה אחרי ניסוח החוק. וכמאמר מוסגר, חוק שהיווה מוטיבציה חזקה לפיתוח החשבון האינפיניטסימאלי. כפי שאמרתי, מדהים.
בואו נבין את המחוברים טוב יותר. נתחיל דווקא במחובר השני. הוא מכיל את הגורם eq0009m.gif – נגזרת של המהירות. כפי שאמרנו, נגזרת היא קצב-שינוי. קצב-שינוי המהירות נקרא תאוצה ומסומן כך: eq0010m.gif. נהוג, אם כך, לכתוב את המחובר השני כ- eq0011m.gif. מה לגבי המחובר הראשון? הוא מכיל את קצב שינוי המסה, eq0012m.gif. כאשר המסה קבועה, זה 0, והחוק השני של ניוטון לובש את הצורה המוכרת, אם כי החלקית, eq0013l.gif. נשים לב כי בהנעה רקטית, למשל, המחובר הראשון בהחלט אינו 0, ויש לקחת אותו בחשבון.

הגענו אל החוק השלישי. חוק זה הוא אינטואיטיבי מאוד, ובכל-זאת הניסיון מלמד אותנו שסטודנטים רבים למכניקה עושים בו שימוש לא נכון. לא ברור לי למה, אבל זה המצב. מה שהחוק אומר, בסה"כ, הוא שאם אנחנו מכים קיר, הקיר מכה אותנו בחזרה. נסו ותיווכחו שזה נכון. בניסוח מדוייק:
III) אם גוף א' מפעיל כוח על גוף ב', אז גוף ב' מפעיל על גוף א' כוח שווה בגודלו בכיוון ההפוך.
שוב, נסו לדחוף קיר, והרגישו איך הקיר דוחף אתכם חזרה.

 

שלושה חוקים. שתי נוסחאות. הסבר לתנועה של כל אובייקט בעל מסה, באשר הוא. במאה ה-17. ע"י אדם אחד. התתפלאו כי בחרתי להתחיל כאן את המסע לתיאור (חלק מ) הפיסיקה בת-ימינו?


* יש הגדרות מדוייקות למושג התנע, אך הן טכניות ומורכבות.

מודעות פרסומת
פוסט זה פורסם בקטגוריה חוקי-בסיס בפיסיקה, מכניקה קלאסית, פיסיקה. אפשר להגיע ישירות לפוסט זה עם קישור ישיר.

3 תגובות על המכניקה של ניוטון

  1. אופק הגיב:

    בועז,
    ברכות על המסע השאפתני לתיאור הפיזיקה בת ימינו! שתי תגובות שעלו תו"כ קריאה:

    'שינוי זה קל. הצורה המתמטית בה מגדירים שינוי נקראת נגזרת'. את מושג הנגזרת עצמו ניוטון פיתח (במקביל ללייבניץ) כדי לתאר שינוי בתנע. שינוי זה משהו לא קל בכלל, כפי שיעידו מאות דורות של סטודנטי שמנסים לעכל את הפרדוקס של זנון, ומהווה עוד דוגמא – בעיני, אחת הראשיות – לגאונות של ניוטון.

    'ההגדרה הטובה ביותר של כוח היא “כל מה שגורם לשינוי בתנע של גוף”'. אילו זו היתה תכולתו של החוק השני, הוא היה די ריק. *יש* בו אמירה יסודית, והיא על טבעו הוקטורי של הכוח. רוצה לאמר: (1) קפיץ מסוים גורם לשינוי מסוים בתנע של גוף מסוים. (כאן אין אמירה פיזיקלית עדיין – אם נתעלם מהאמירה המובלעת על דטרמיניזם פיזיקלי). (2) שני קפיצים זהים לראשון, יגרמו לשינוי *כפול* בתנע של גוף זהה לראשון! זה כבר חיזוי ניתן להפרכה, ולכן אמירה פיזיקלית. האמירה העמוקה היא שיש קיום עצמאי ומדיד לגורמים-לשינוי-תנע, והם מגיבים כוקטורים לחיבור.

    ברווז: תודה אופק.
    למיטב זכרוני(וייתכן שאני טועה), העבודות הראשונות על נגזרת  נעשו עוד ע"י דקארט ופרמה. בכל מקרה, כוונתי הייתה שהגדרת שינוי היא קלה, כי אני יכול להפנות את הקורה אל הנגזרת. ללא ספק פיתוח החשבון האינפיניטסימלי בהקשר של מכניקה מהווה אחת הדוגמאות הראשיות לגאונותו של ניוטון.

    לגבי כוחות – אתה צודק. מאוד קשה להגדיר כוח בצורה לא מעגלית,  כפי שציינתי. זו הסיבה שאנו נשארים עם הגדרה אופרטיבית לכל כוח בנפרד. למעשה, אולי הייתי צריך להגדיר כוח באמצעות מה שהוא עושה לקפיץ, שכן רוב המכשירים למדידת כוחות מבוססים על התארכות/התכווצות של קפיץ נתון כתוצאה מהכוח. אתה צודק גם לגבי האמירה הפיסיקלית של החוק השני, אבל אני רואה את גדולת החוק השני בכך שהוא "מספר" לנו איך ישתנה תנע של גוף כתוצאה מפעולה שאנחנו עושים עליו.

  2. עופר הגיב:

    הבלוג מתקדם מצויין, מאוד מעניין. כאדם בשלהי דרכו בתחום אפילו סגרת לי כאן פינה קטנה.

    ,תודה עופר. תמיד שמח לעזור 🙂

  3. פינגבאק: כמה זה מספיק? אופטימיזציה של כמויות. - האחווה Larp.org.il

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל

אתה מגיב באמצעות חשבון Google שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s