חוקי הגרוויטציה של ניוטון

בפוסט קודם דיברתי על חוקי התנועה של ניוטון. בפוסט הזה אני רוצה לדבר על מה שנקרא לפעמים החוק הרביעי של ניוטון, אבל מוכר יוטר כחוק הגרוויטציה האוניברסלי. בחוק זה מתאר ניוטון את אחד מארבעת הכוחות היוסודיים בטבע, היחיד שעל קיומו ידעו בתקופת ניוטון,כוח הגרוויטציה. אנו עוד נראה בהמשך כי החוק הזה תוקן, כ-250 שנים לאחר ניוטון, ע"י אלברט איינשטיין, אולם כמעט לכל צורך מעשי (עד, וכולל, הנחתת חללית על מאדים), התורה של ניוטון טובה דיה.

ניוטון סיפר שהרעיון לתורה הגרוויטציונית שלו, עלה במוחו בשעה שישב והירהר תחת עץ תפוח. יש לשער שמכאן האגדה על התפוח שנפל על ראשו, וגרם לו לחשוב על כוח המשיכה. מה אומר החוק? החוק אומר שכל 2 מסות מושכות זו את זו, בכוח שעוצמתו מתכונתית (פרופורציונאלית) למכפלת המסות ולהופכי של ריבוע המרחק ביניהן. ניוטון גם חישב, בקירוב, את קבוע הפרופורציה. לפני שנמשיך הלאה, בואו נכתוב את הנוסחה:

F=G_N \frac{m_1m_2} {r^2}

כאשר m_1 ו-m_2 הן המסות, r הוא המרחק ביניהן, ו-G_N הוא קבוע הפרופורציה.
הדבר המופלא הוא שניוטון הבין שאותו החוק שולט בתנועת גרמי-השמים ובנפילת התפוח על הארץ.
שימו לב כי החוק נותן רק את גודל הכוח. כפי שראינו ברשימה שהתייחסה לחוקי התנועה של ניוטון, הכוח הוא ווקטור ויש לו כיוון. כיוון הכוח שמסה מס' 1 מפעילה על מסה מס' 2 הוא לאורך הקו המחבר את המסות, לכיוון מסה מס' 1, וכמובן הכוח שמסה מס' 2 מפעילה על מסה מס' 1, הוא בכיוון ההפוך.
ניתן לשאול, איך הצליח ניוטון להגיע לנוסחה? לדעתי, השאלה הזו פחות עניינת מהשאלה, האם נוכל אנחנו להגיע לנוסחה זו, מתוך הידע שהיה ברשותו של ניוטון. כמובן, יהיה לנו קל הרבה יותר, שכן אנו יודעים את התשובה. בואו נתחיל מלמנות את הכלים שברשותנו:

  • שלושת חוקי התנועה של ניוטון, ובפרט החוק, בצורתו הפשוטה (מסה קבועה): F=ma
  • האבחנות של גליליי, בפרט העובדה שזמן נפילתו של גוף לא תלוי במסתו, ולכן גם התאוצה של גוף נופל לא תלויה במסתו.
  • חוקי האסטרונומיה של קפלר, בפרט החוק השני של קפלר, המציין כי עבור כוכב-לכת המקיף שמש, ריבוע זמן ההקפה של כוכב-הלכת מתכונתי לחזקה השלישית של רדיוס ההקפה, כלומר r^3\propto{T^2}.

זה כל מה שנדרש לנו. זה, והידיעה שהתופעות השנייה והשלישית נובעות מאותו חוק טבע. ועוד דבר אחד. סימטריה. כיוון שזהו מושג מרכזי בפיסיקה, מן-הסתם עוד אכתוב עליו, אבל לעת עתה הסימטריה שאני מדבר עליה היא סימטריה בין המסות המפעילות כוח זו על זו. אם נחליף את שמותיהן (2 במקום 1, 1 במקום 2) לא צריך להשתנות כלום, כלומר מה שנכון לאחת צריך להיות נכון גם לשנייה. החוק לא יבדיל ביניהן.
כעת – לדרך.
נתחיל עם המונה. התאוצה של גוף נופל, אומר לנו גליליי, אינה תלויה במסתו. נראה מה יש לניוטון להגיד על תאוצה. מהחוק השני של ניוטון נקבל a=\frac F m. כלומר, הגדלת המסה פי שניים, נאמר, צריכה להקטין את התאוצה פי שניים, אלא אם כן יגדל הכוח בפקטור דומה. זה מייד ייתן לנו שהכוח צריך להיות תלוי ליניארית במסת הגוף הנופל, ומהסימטריה שהזכרתי קודם, תלוי ליניארית גם במסה השנייה. כדי שגודל יהיה תלוי ליניארית בשתי מסות, הוא צריך להיות תלוי במכפלתן. זה נותן לנו את המונה, m_1m_2, של חוק הכבידה האוניברסלי. עכשיו צריך לטפל במכנה. האם ייתכן שהכוח לא תלוי במרחק בין המסות? אם כך היה, הרי שהיינו מרגישים משיכה ממסות גדולות רחוקות, כגון גלקסיות אחרות, וזה לא תואם את מה שאנחנו יודעים. אנו מקבלים, אם-כן, שהכוח צריך לקטון ככל שהמרחק גדל. אבל זה לא מספיק. אנחנו צריכים להחליט בדיוק איך הכוח קטן כתלות בגדילת המרחק. כאן בה לעזרתנו קפלר. אנחנו צריכים לדאוג לכך שהתלות במרחק תתאים לחוקי קפלר. אני מתכוון בפוסטים עתידיים, שיעסקו בתנועה לוויינית ובעיית קפלר, להראות בדיוק את החישוב, אבל מכנה של r^2 מתאים בדיוק. צריך כמובן גם לחשב את גורם הפרופורציה, G_N. את זה אפשר לעשות בניסוי פשוט, שלא אתאר אותו כאן, הוא מעט טכני, אבל ברגע שהוא ידוע, חוק הכבידה האוניברסלי נבדק בניסויים רבים ונמצא נכון. כאמור, כ-250 שנים לאחר ניסוח החוק התברר שיש צורך בתיקונים, אך אפילו כדי להנחית חללית על מאדים, הוא מדויק דיו.
כדאי לציין כי קבוע הפרופורציה, G_N, הוא מאוד קטן ולכן אנו זקוקים למסות מאוד גדולות, מסדר גודל של גרמים-שמימיים, כדי להרגיש בכוח זה.
עם חוק הכבידה האוניברסלי השלמנו, למעשה, את חוקי הבסיס של המכניקה הקלסית. בעתיד אני מתכוון לתאר כמה מהתוצאות ולהבין כמה מהמערכות המעניינות של הפיסיקה הקלסית.

מודעות פרסומת
פוסט זה פורסם בקטגוריה חוקי-בסיס בפיסיקה, מכניקה קלאסית, פיסיקה. אפשר להגיע ישירות לפוסט זה עם קישור ישיר.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל

אתה מגיב באמצעות חשבון Google שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s